Introducción a la trigonometría (I)

Uno de los temas menos tocados en los blogs y foros de programación y desarrollo web es de las matemáticas. Probablemente sea por que en realidad la aplicación de las matemáticas en la programación y el desarrollo web no es ampliamente valorada, o probablemente sea por que dicha aplicación no es un requerimiento. Sin embargo, el correcto uso de la matemática puede y trae grandes beneficios al desarrollo web.

Piensa por un instante en una simple animación como puede ser desplazar un elemento de un lado a otro en la pantalla. Es un efecto relativamente simple; basta con aumentar o disminuir el valor de la posición de dicho elemento en uno o ambos ejes por unos cuantos pixeles y repetir dicha modificación en intervalos. Sin embargo, esta no es la mejor forma de hacerlo. Se puede usar una simple ecuación algebraica para poder calcular el movimiento del elemento y de esta manera poder incluso determinar y establecer el tiempo de duración de la animación así como mantener un intervalo constante y amigable al cpu del usuario (en mi experiencia he encontrado que generalmente 100 milisegundos es un tiempo relativamente amigable que evita esos odiosos saltos en las animaciones). En este post no voy a hablar sobre este efecto, ya que como dije, eso requiere una ecuación algebraica y lo que en este momento nos interesa no es el álgebra, sino la trigonometría.

La trigonometría, aparte de ser la rama de la matemática con el nombre más cool y exótico desde mi punto de vista, es la rama de la matemática (o de la geometría, según la fuente) que “se ocupa la medida de los elementos de los triángulos.”* A decir verdad, desde mi punto de vista, la trigonometría no es otra cosa que el estudio de los triángulos y la razón entre sus ángulos y sus lados, una geometría con un ego exaltado en donde solo existen los triángulos y los círculos. Es una ciencia relativamente sencilla ya que su aplicación en la vida real se puede ver a simple vista y no es tan abstracta como el álgebra o el cálculo. En este artículo veremos una breve introducción al mundo de la trigonometría que nos preparará para artículos posteriores en los que estaré tratando el uso de canvas.

La trigonometría tiene como base el triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras y la seis funciones trigonométricas. En esta introducción hablaremos solo del triángulo rectángulo y del teorema de Pitágoras. Las funciones trigonométricas las dejaremos para la parte dos de la introducción a la trigonometría.

El triángulo rectángulo.

El triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto. Por si no recuerdas lo que es un ángulo recto: un ángulo recto es aquel que mide 90 grados. Justo al otro lado del ángulo de 90 grados, nos encontramos con la hipotenusa, el lado mas grande del triángulo rectángulo. Probablemente recuerdes que los ángulos de un triángulo siempre suman 180 grados, por lo que, al tener un ángulo recto, es fácil deducir que los dos ángulos restantes del triángulo son complementarios, es decir, que juntos suman 90 grados. Este es un aspecto importante de recordar, ya que muchas veces puede resultar extremadamente beneficioso si se sabe aplicar con destreza. Dentro de las muchas posibilidades del triángulo rectángulo, que ya de por si es especial por si mismo, existen triángulos rectángulos con medidas especiales, casi mágicas.

fig-1

Triángulo 90-60-30

Uno de esos triángulos con medidas especiales es el triángulo de 90, 60 y 30 grados. Todos los triángulos mantiene la proporción de sus lados sin importar su tamaño. Es decir que, como dicen algunos hombres para consolarse, el tamaño no importa. Las proporciones del triángulo rectángulo son 2 para la hipotenusa, raíz de 3 para su lado mediano y 1 para su lado mas corto. El siguiente diagrama te ayudará a entender mejor.

En la práctica, esto significa que si un triángulo 90-60-30 tiene como medida 5px para su lado más corto, su hipotenusa mide 10px y su lado mediano tendrá al rededor de 8.66px. Esto es por que para poder obtener la medida de cada uno de los lados hay que mantener la proporción, por lo que si el lado más corto vale 5, podemos decir que que la hipotenusa vale 2X5 y el lado mediano vale 5X(raíz de 3).

fig-2

Triángulo 90-45-45

Otro triángulo que también conviene recordar es el que tiene un ángulo de 90 grados y dos de 45. Las proporciones de este triángulo son raíz de 2 para la hipotenusa y 1 para sus dos catetos (los lados del triángulo que no son la hipotenusa).

El teorema de Pitágoras

Los pitagóricos descubrieron por ahí del 500 a.C. la relación entre los lados de un triángulo. Más concretamente, descubrieron que la suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo igualan el cuadrado de la hipotenusa. Me acuerdo que cuando era chico escuchaba hablar del teorema de Pitágoras, y todos esos kiddies (mas grandes que yo por supuesto) hablaban de ese misterioso “teorema” como algo difícil de mascar. Para ese entonces yo no tenía ni idea de lo que era un teorema, pero recuerdo que pensaba que sería algo difícil, tanto que cuando por fin llegue al cursos escolar donde aprendí el teorema de Pitágoras me quedé “Y eso es todo???.” Y es que la verdad el teorema de Pitágoras es uno de los conceptos más sencillos de la matemática:

a2 + b2 = c2

donde a representa uno de los catetos y b representa al otro, mientras que c representa la hipotenusa, de modo que si quieres saber el valor de la hipotenusa y conoces el valor de ambos catetos podemos decir que:

h = raíz de (a2 + b2)

en donde h representa a la hipotenusa. De igual modo la ecuación puede modificarse para obtener cualquier lado de un triángulo mientras se conozcan los otros dos lados.

Por ahora eso es todo en cuanto a trigonometría se refiere. Espero verlos en la siguiente entrega de esta nueva serie donde nos concetraremos en las seis funciones trigonométricas.

*La Biblia de las Matemáticas (p.833)

3 thoughts on “Introducción a la trigonometría (I)

    • claro que sí. Siempre es bueno tomarse en serio los comentarios de aquellos que saben de lo que hablan. Aparte, la trigo siempre me ha gustado y probó ser útil en mis tiempos usando flash.

      Saludos.

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